Koefisien Binomial

Koesien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan, misalnya (a + b)n. Sepintas terlihat bahwa ekspresi (a + b)n tidak ada hubungannya dengan kombinasi, tetapi kenyataannya kita bisa mendapatkan rumus untuk penjabaran (a + b)n dengan menggunakan rumus banyaknya kombinasi r dari n unsur. Teori untuk menurunkan rumus yang diperoleh dari penjabaran (a + b)n dengan menggunakan kombinasi dikenal dengan Teorema Binomial. Sebelum membahas teorema ini, perhatikan ilustrasi berikut ini. Dalam aljabar kita tahu bahwa

Penjabaran dari (a + b)3 yang merupakan perkalian 3 faktor (a + b), yaitu
adalah pemilihan baik a maupun b dari masing-masing ketiga faktor (a + b) tersebut, selanjutnya hasil pemilihan tersebut dikalikan bersama-sama dan kemudian hasil kalinya dijumlahkan. Misalnya, jika kita memilih a dari setiap faktor dan mengalikannya, maka kita peroleh aaa. Jika kita memilih a dari faktor pertama, a dari faktor kedua dan b dari faktor ketiga kemudian mengalikannya, maka kita peroleh aab, dan seterusnya. Sehingga semua kemungkinan pemilihan baik a maupun b dari masing-masing faktor adalah
atau kalau dikalikan diperoleh
Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan, maka hasilnya adalah
Bilangan 3 yang merupakan koesien dari a2b muncul dari pemilihan a dari 2 faktor dan b dari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan dalam C(3; 2) atau C(3; 1) cara. Cara yang sama bisa dilakukan untuk memperoleh koefisien b3 yang dalam hal ini merupakan pemilihan a dari 0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam C(3, 0) atau C(3, 3) cara, dan seterusnya. Sehingga secara umum koefisien-koefisien tersebut bisa ditentukan berdasarkan Teorema Binomial berikut ini.
Teorema 1:
Jika a dan b adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka

Bukti:
Penjabaran dari (a + b)n merupakan perkalian (a + b) sebanyak n faktor, yaitu
Koefisien dari an-kbk dapat ditentukan dengan banyaknya cara pemilihan a dari n – k faktor diantara n faktor yang ada atau pemilihan b dari k faktor diantara n faktor. Hal ini bisa dilakukan dengan C(n, n – k) atau C(n, k) cara. Penentuan koefisien ini berlaku untuk setiap k = 0, 1, .... , n. Sehingga
Sama dengan yang dibuktikan
Contoh:
Jabarkan (3x – 2)3
Penyelesaian:
Misalkan a = 3x dan b = -2
 Disamping menggunakan kombinasi, kita juga bisa menentukan koefisien binomial dengan menggunakan segitiga Pascal seperti berikut ini.
1
1                    1
1          2          1
1          3          3          1
1          4          6          4          1
1          5          10        10        5          1
.                                   .                                   .
.                                                                                   .
.                                               .                                               .
Batas dari segitiga Pascal diatas terdiri dari 1 dan nilai-nilai didalamnya merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan diatasnya. Secara formal hubungan itu dinyatakan dalam teorema berikut ini.
Teorema 2:
C(n + 1, k) = C(n, k – 1) + C(n, k)           untuk 1 ≤ k ≤ n.
Bukti:
Misalkan X sebuah himpunan dengan n unsur. Ambil a X sehingga C(n + 1, k) merupakan banyaknya subhimpunan k unsur dari Y = X ∪ {a}. Subhimpunan k unsur dari Y bisa dibagi menjadi dua kelas yang saling lepas, yaitu:
1.      Subhimpunan dari Y yang tidak mengandung a
2.      Subhimpunan dari Y yang mengandung a
Subhimpunan dari kelas 1 merupakan subhimpunan k unsur dari X dan banyaknya adalah C(n, k). Sedangkan subhimpunan dari kelas 2 merupakan subhimpunan k – 1 unsur dari X digabung dengan a dan banyaknya adalah C(n, k – 1). Dengan demikian
C(n + 1, k) = C(n, k – 1) + C(n, k)
Seperti yang dibuktikan. 
Identitas pada teorema diatas disebut dengan Identitas Kombinatorial. Sedangkan argumen yang dipakai untuk pembuktiannya disebut dengan Argumen Kombinatorial.

Sekian, Semoga Bermanfaat
Terima kasih telah berkunjung ke blog ini..

Penulis : Jusman Amin ~ Berbagi hal seputar matematika dan hal menarik lainnya

Artikel Koefisien Binomial ini dipublish oleh Jusman Amin pada hari Minggu, 06 Mei 2012. Semoga artikel ini dapat bermanfaat.Terimakasih atas kunjungan Anda silahkan tinggalkan komentar.sudah ada 0 komentar: di postingan Koefisien Binomial
 

0 komentar:

Posting Komentar

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...